Можно ли подать заявление на гражданство по происхождению, если родитель был гражданином Аргентины, но проживал за границей?

Да. Место проживания родителя значения не имеет, главное — документально подтвердить его аргентинское гражданство и родство: свидетельства о рождении с апостилем и переводом traductor público.